Question

一道高中数学竞赛题（急）

已知C： x^2+(y-1/2)^2=r^2与y=sinx 的图象有唯一交点，且交点的横坐标为a ，则
(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa的值等于?
答案是-4a
为什么？

Answer 1

x^2+(y-1/2)^2=r^2与y=sinx 的图象有唯一交点，说明圆心在(0,1/2)，半径为r的圆与y=sinx图像相切。通过作图可知此点在第一象限。
因为是切点，所以(0,1/2)和(a,sina)之间直线和y=sinx在(a,sina)处的切线相垂直，即(1/2-sina)/(-a)*cosa=-1，化简得：sin2a-cosa=-2a
(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa={sina+[3sina-4(sina)^3]-2(cosa)^2}/cosa={4sina-4(sina)^3-2(cosa)^2}/cosa=4sinacosa-2cosa=2(sin2a-cosa)=-4a