Question

在各项为正的数列{an}中，前n项和Sn满足Sn=1/2（an+1/an)

(1)求a1,a2,a3
（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.

Answer 1

（1）s1=a1=1/2(a1+1/a1),即2a1=a1+1/a1,即a1=1/a1，又因为a1>0,所以a1=1
s2=a1+a2=1/2(a2+1/a2),即1+a2=1/2(a2+1/a2),即2+a2=1/a2,a2^2+2a2-1=0,且a2>0,a2=根号2-1
s3=a1+a2+a3=1/2(a3+1/a3),即 根号2+a3=1/2(a3+1/a3),得a3=根号3-根号2
（2）猜想an=根号n-根号（n-1）
n=1时，假设成立
假设n=k时，命题成立
n=k+1时有：
s(k+1)=1/2(a(k+1)+1/a(k+1))
a(k+1)=s(k+1)-s(k)
由假设只s(k)=根号k
a(k+1)=1/2(a(k+1)+1/a(k+1))-根号k
得a(k+1)=根号(k+1)-根号k
即假设成立