Question

高等数学比值审敛法的方法证明

我想要证明比值审敛法，自己方法如下：
lim(n->无穷) [(n=1 到无穷作和)]un =
lim(n->无穷) (u1+u2+.....un+.....)=
lim(n->无穷) u1+lim(n->无穷) u2+.....lim(n->无穷) u3+...lim(n->无穷) un+.....

lim(n->无穷) (u(n+1)/u(n))=l 推出 lim(n->无穷) u(n+1)=l*lim(n->无穷) u(n)

推出lim(n->无穷) [(n=1 到无穷作和)]=(1+l+l^2+l^3+....l^(n-1)+....)u1=(lim(n->无穷)((1-l^n)/(1-l)))*u1
当l>1时，发散
当l<1时，收敛
当l=1时，不确定

自己感觉有许多不妥之处，但结果不知道是不是阴差阳错的弄对了，所以希望大神可以指点。。。
第一次提问数学问题，不大会用学生符号，所以可能有点乱，请见谅。。。
如果可以的话，希望大神可以把根植审敛法，莱布尼茨审敛法，证明一下以及幂级数中l=lim(n->无穷)(a(n+1)/a(n))=1/R的原因也说一下，感激不尽

Answer 1

相邻两项的比值：

[（n+1）！/（n+1）^(n+1)]/[n！/n^n]

=（n+1）n^n/（n+1）^(n+1)

=n^n/（n+1）^n

=[n/(n+1)]^n

=[1-1/(n+1)]^(n+1)/[1-1/(n+1)]

=1/[1-1/(n+1)]{[1-1/(n+1)]^-(n+1)}

-->1/e

<1收敛。

函数收敛：

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

Answer 2

Answer 3

利用上极限和下极限的定义和性质
再利用夹逼定理证明

只证明了l是常数的情况
l是无穷大时比较容易证明

Answer 4

从第三行开始都是错误的，极限运算法则使用错误