Question

已知数列{an}的各项为正数，前n项和为Sn,且Sn=an(an+1)/2,n属于正整数 (1)求证数列{an }是等差数列 （2）

Answer 1

an=Sn-Sn-1=[an(an+1)/2]-[a(n-1)(a(n-1)+1)/2]=an^2+an-a(n-1)^2-a(n-1),移项化解的[an+a(n-1)]*[an-a(n-1)-1]=0,S1=a1=a1(a1+1)/2,且{an}各项都为正数，所以a1=1.
上面化解的式子有两种结果：1、an=-a（n-1)，但是这样的话，a1=1,数列为1，-1,1，-1,1，-1，。。
不符合数列各项为正数，所以选择第二种情况，2、an-a(n-1)-1=0,即，an-a(n-1)=1,此时{an}为等差数列，an=n，符合各项为正数，综上，{an}是等差数列。