Question

高二数学题一道

已知f(x)=(1/3)x^3-(1/2)ax^2+（a-1)x+1 问：
1. 当a=0时求过点（3，7）的切线方程
2. f(x)=0有两个实根，求a的取值范围
用导数的有关知识解题 谢谢

Answer 1

f(x)=(1/3)x^3-(1/2)ax^2+（a-1)x+1
f'(x)=x^2-ax+a-1
1. 当a=0时 f'(x)=x^2-1
设切点为(x0,y0)
a=0
f(x)=(1/3)x^3-x+1
f'(x)=x^2-1
k=y'=x0^2-1
k=(y0-7)/(x0-3)
y0=1/3*x0^3-x0+1
((1/3)x0^3-x0+1-7)/(x0-3)=2x0^2-1
解得
x0=-3/2
y0=11/8
k=5/4
点斜式求方程

2. f'(x)=x^2-ax+a-1=(x-1)(x-a+1)
(1) a-1>1 即a>2
f'(x)=0的两根为x=1 x=a-1
x=1 f(x)有极大值=1/3+a/2
x=a-1 f(x)有极小值=1/3(a-1)^3-1/2a(a-1)^2+(a-1)^2+1
f(x)=0有两个实根，极大值=0或极小值=0
极大值=0 a=-2/3（舍去）
极小值=0 解得x=9/2
(2)a-1=1 a=2 f'(x)>=0 f(x)单调递增只有一个根
(3)a-1<1 a<2
x=1 f(x)有极小值=1/3+a/2
x=a-1 f(x)有极大值=1/3(a-1)^3-1/2a(a-1)^2+(a-1)^2+1
f(x)=0有两个实根，极大值=0或极小值=0
极小值=0 a=-2/3（舍去）
极大值=0 解得a=9/2
所以a=9/2

Answer 2

这个题目就是求导呗，自己好好算算吧