一道竞赛题

已知C:x^2+(y-1/2)^2=r^2与y=sinx的图象有唯一交点,且交点的横坐标为a,则(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa的值等于?答案是-4... 已知C: x^2+(y-1/2)^2=r^2与y=sinx 的图象有唯一交点,且交点的横坐标为a ,则
(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa的值等于?
答案是-4a
为什么?
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来自澄水洞客观的蒲桃
2011-03-20 · TA获得超过9238个赞
知道大有可为答主
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两曲线相切于点(a,sina),故两曲线应当存在过这一点的一条公切线。
根据点在正弦曲线上可得公切线斜率=-cosa,
由于公切线与圆相切,故公切线应当与过切点的半径垂直,
这条半径的斜率为(sina-1/2)/a,
所以-cosa×(sina-1/2)/a=-1,得sina-1/2=-a/cosa①
(sina+sin3a-2(cosa)^2)/cosa根据三倍角公式展开,化为[4sina-4(sina)^3-2(cosa)^2]/cosa
前两项提取公因式4sina,平方关系代换,经过约分,
最终将待求式化为(4sina-2)cosa。
此时,将①式代入,-4a立刻出现,轻松加愉快。
By冻结的火 QQ357304765
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