Question

在锐角三角形ABC中已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.向量m＝（2sinB，√3）

在锐角三角形ABC中已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.向量m＝（2sinB，√3），n＝（cos2B，cosB），且向量m，n共线。（1） 求角B的大小（2）如果b＝1，求三角形ABC的面积S的最大值

Answer 1

⑴根据：m＝(2sinB，√3)，n＝(cos2B，cosB)，且向量m，n共线(意味着平行且重合)
那么：2sinB：√3 ＝cos2B：cosB ==>tan2B＝√3
2B=60°
∠B＝30 °
⑵ 如果b＝1，求三角形ABC的面积S的最大值：
▲ABC面积最大值可以这样考虑：
方法1：我们把▲ABC放置在半径一定的圆内部，由于b=1固定(相当于弦长固定,，即A、C点固定)，该边的对角∠B固定（相当于边所对应的张角固定），现在设想A点沿着圆的圆周弧线移动(此时的张角∠B不会发生变化的)，那么只有当AB＝AC，即▲ABC为等腰三角形的时候，其面积达到最大值；
方法2：直接代数方法，由于S▲ABC＝1/2 ac sinB
对于固定值的∠B，只有当a=c时，ac乘积才最大，（因为你熟悉的(a+c)/2≥(ac)的根号）
总之等腰三角形AC=AB，S▲ABC最大；
具体地，
∠B＝30°，∠A＝∠C＝75° a＝c＝2sin(75°) ，
S▲ABC最大＝1/2 ac sinB
＝1/2 *2sin(75°)*2sin(75°)*sin(30°) → sin(75°)＝(√6+√2)/4
＝(2+√3) / 4
＝≈0.9330