Question

已知定义在实数上的奇函数f（x）满足f（x－4）=－f（x）,且在区间【0,2】上是增函数，若方程

已知定义在实数上的奇函数f（x）满足f（x－4）=－f（x）,且在区间【0,2】上是增函数，若方程f（x）=m,（m>0）在区间[－8,8]上有四个不同的根，则四根相加等于。。

Answer 1

和=-8

过程如图

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Answer 2

由f（x－4）=－f（x）,
有f(x-8)=f((x-4)-4)=-f(x-4)=f(x),
所以f(x)是周期函数，8是f(x)的一个周期。
又f(-x)=-f(x)，
有f（x－4）=f（－x），
所以f(x)关于直线x=-2对称。
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，故方程f（x）=m,（m>0）在区间[0,2]上有且只有一个根x1,
又f(x)关于直线x=-2对称，故方程f（x）=m在区间[-2,-6]上有且只有一个根x2,且x1+x2=-4.
所以，在一个周期长的区间[-6,2]上方程两根之和为-4，
于是，在两个周期长的区间[-8,8]上方程四根之和为-8.
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