Question

(asinA+bsinA)/(acosA-bsinA)=tanB,B-A=π/6,则b/a=

Answer 1

定义x为tanx=b/a
解
sinx/cosx=b/a ---(1)
(sinx)^2+(cosx)^2=1 ---(2)

可得sinx=b/√(a^2+b^2), cosx=a/√(a^2+b^2)

(asinA+bsinA)/(acosA-bsinA)=tanB=tan(A+π/6)
左边分子分母除√(a^2+b^2), 可得
sin(A+x)/cos(A+x)=tan(A+x)=tan(A+π/6)
故有
x=π/6±kπ ,k=0,1,2,...
而
b/a=tanx=tan(π/6±kπ)=tan(π/6)=1/√3

追问

这一步转化有问题的 ，我想应该是这题题目出错了吧

追答

噢。是的。

tanB
=tan(π/6+A)
=(cosπ/6sinA+sinπ/6cosA)/(cosπ/6cosA-sinπ/6sinA)
=(sinA (√3/2)+cosA (1/2) )/(cosA (√3/2) -(1/2)sinA)
=(sinA (√3)+cosA )/(cosA (√3) -sinA)

(a+b)sinA/(acosA-bsinA)=tanB=(sinA (√3)+cosA )/(cosA (√3) -sinA)
=>
(1-√3)b(sin(A))^2 - (1+√3)bcos(A)sin(A) +a =0
所以
b/a= 1/((√3-1)*(sin(A))^2+(1+√3)*cos(A)*sin(A))