Question

几道数理统计的题目，矩估计，最大似然估计

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Answer 1

Xbar=E(X)=λ+2-2θ-2λ=2-2θ-λ

(X^2)bar=E(X^2)=λ+4-4θ-4λ=4-4θ-3λ

2-2θ-λ=Xbar
4-4θ-3λ=(X^2)bar

矩估计λ=2Xbar-(X^2)bar
矩估计θ=[(X^2)bar-3Xbar+2]/2

最大拟然
L={8!/(3!2!3!)}θ^3λ^2(1-θ-λ)^3
由於常数不影响最大拟然估计，可忽略前面的组合数
l=log(L)=3logθ+2logλ+3log(1-θ-λ)

al/aθ=3(1/θ-1/(1-θ-λ))

al/aλ=2/λ-3/(1-θ-λ)

使两个都为0
θ=1-θ-λ
λ/2=(1-θ-λ)/3

2θ+λ=1
5λ+2θ=2
λ=1/4
θ=3/8

自己记得加帽

六
1)=P(X>r/2)=r/2/(2r)=1/4

2)X,Y都是 (-r,r)均匀分布,相互独立

3) X,Y不相关

七
矩估计
E(X)=2∫(0~θ) x^2/θ^2 dx
=(2/3)*θ

(2/3)θ*n=Σ(i=1~n) Xi
θ=(3/2)Σ(i=1~n) Xi /n
or =(3/2)Xbar

最大拟然
l=nlog2+ΣlogXi-2nlogθ
dl/dθ=-2n/θ
θ无限大，l无限接近最大拟然
所以这里θ的MLE取X样本最大者=max(X1,...Xn)

E(ΣXi/n)=E(X)=θ 无偏