Question

高一数学 已知2sinβ=sin(2α+β),求tan(α+β)/tanα的值

Answer 1

2sinβ=2sin(α+β-α)=2sin(α+β)cosα-2cos(α+β)sinα
2sinβ/(cos(α+β)sinα)=2sin(α+β)cosα/(cos(α+β)sinα)-2=2tan(α+β)/tanα-2
sin(2α+β)＝sin(α+β)cosα＋cos(α+β)sinα
sin(2α+β)/(cos(α+β)sinα)=(sin(α+β)cosα)/(cos(α+β)sinα)＋1
∵2sinβ·=sin(2α+β)
2sinβ/(cos(α+β)sinα)=tan(α+β)/tanα＋1=2tan(α+β)/tanα-2
∴2tan(α+β)/tanα-2=tan(α+β)/tanα＋1
所以tan(α+β)/tanα=3

Answer 2

β＝(α+β)－α，2α+β＝(α+β)＋α
sinβ＝sin(α+β)cosα－cos(α+β)sinα，sin(2α+β)＝sin(α+β)cosα＋cos(α+β)sinα
由2sinβ=sin(2α+β)，得sin(α+β)cosα=cos(α+β)sinα 即tan(α+β)=tanα
所以tan(α+β)/tanα=1