Question

高数证明

求证：(1/N)∑EXP(-j* (2pi/N)*(k-L)i)=1,(当k-L为0或N的整数倍)，0（其他）西格玛是对i求和 从i=0到N-1

Answer 1

7. 令F(x)=∫{a,x}f(t)dt-1/2*∫{a,b}f(x)dx，a≤x≤b
∵f(x)在[a,b]上连续，∴函数∫{a,x}f(t)dt在[a,b]上连续，故F(x)在[a,b]上连续
又F(a)= -1/2*∫{a,b}f(x)dx，F(b)=1/2*∫{a,b}f(x)dx
F(a)*F(b)= -1/4*[∫{a,b}f(x)dx]²<0
由介值定理可知，存在一点ξ∈(a,b)，使得F(ξ)=0
即∫{a,ξ}f(x)dx-1/2*∫{a,b}f(x)dx=0，则∫{a,ξ}f(x)dx=1/2*∫{a,b}f(x)dx
又∵∫{a,ξ}f(x)dx+∫{ξ,b}f(x)dx=∫{a,b}f(x)dx
∴∫{a,ξ}f(x)dx=∫{ξ,b}f(x)dx=1/2*∫{a,b}f(x)dx

8. 记y=f(x)，由已知，x=φ(y)=φ[f(x)]，利用分部积分，并注意到f(1)=0，有
∫{0,1}[∫{0,f(x)}φ(t)dt]dx
=x*∫{0,f(x)}φ(t)dt|{0,1}-∫{0,1}xd[∫{0,f(x)}φ(t)dt]
=-∫{0,1}x*φ[f(x)]f’(x)dx
=-∫{0,1}x²d[f(x)]
=- x²* f(x) |{0,1}+∫{0,1}f(x)d(x²)
=2*∫{0,1}x*f(x)dx

9. (1)证法不唯一，下面提供三种方法
证法一：利用变上限积分函数证明
令φ(x)=[∫{a,x}f(t)*g(t)dt]²-∫{a,x} f²(t) dt*∫{a,x} g²(t)dt，a≤x≤b，则φ(a)=0
φ’(x)=2* f(x)*g(x)*∫{a,x}f(t)*g(t)dt-f²(x) *∫{a,x}g²(t) dt-g²(x) *∫{a,x}f²(t)dt
=-∫{a,x}[-2* f(x)*g(x)* f(t)*g(t)+ f²(x)*g²(t)+g²(x)*f²(t)]dt
=-∫{a,x}[ f(x)*g(t)- g(x)*f(t)]²dt≤0
故φ(x)在[a,b]上单调递减，φ(b)≤φ(a)=0
即[∫{a,b}f(x)*g(x)dx]²≤∫{a,b} f²(x) dx*∫{a,b} g²(x)dx

证法二：利用初等数学不等式证明
由于2*[f(x)*g(y)]* [f(y)*g(x)]≤[f(x)*g(y)]²+ [f(y)*g(x)]²
两边对x从a到b积分，得
2*[f(y)*g(y)]*∫{a,b}f(x)*g(x)dx≤g²(y)*∫{a,b} f²(x)dx+ f²(y)*∫{a,b}g²(x)dx
两边再对y从a到b积分，得
2*∫{a,b}f(y)*g(y)dy *∫{a,b}f(x)*g(x)dx≤∫{a,b}g²(y)dy *∫{a,b} f²(x)dx+∫{a,b} f²(y)dy *∫{a,b}g²(x)dx
由于积分与积分的字母无关，故
2*[∫{a,b}f(x)*g(x)dx]²≤2*∫{a,b} f²(x) dx*∫{a,b} g²(x)dx
即[∫{a,b}f(x)*g(x)dx]²≤∫{a,b} f²(x) dx*∫{a,b} g²(x)dx

证法三：利用二次函数判别式证明
对任意实数t，恒有[t*f(x)-g(x)]²≥0，即
t²*f²(x)-2* t*f(x)*g(x)+g²(x)≥0
两边对x从a到b积分，得
t²*∫{a,b}f²(x)dx-2* t*∫{a,b}[f(x)*g(x)]dx+∫{a,b}g²(x)dx≥0
由于上式非负，判别式△≤0，则
4*[∫{a,b}f(x)*g(x)dx]²-4*∫{a,b}f²(x)dx*∫{a,b}g²(x)dx≤0
即[∫{a,b}f(x)*g(x)dx]²≤∫{a,b} f²(x) dx*∫{a,b} g²(x)dx

9. (2)利用(1)的结论可证得
∵[∫{a,b}f(x)*g(x)dx]²≤∫{a,b} f²(x) dx*∫{a,b} g²(x)dx
∴2*[∫{a,b}f(x)*g(x)dx]≤2*[∫{a,b} f²(x) dx*∫{a,b} g²(x)dx]^(1/2)
因此∫{a,b} f²(x) dx+∫{a,b}2*f(x)*g(x)dx+∫{a,b} g²(x)dx
≤∫{a,b} f²(x) dx+2*[∫{a,b} f²(x) dx ] ^(1/2) *[∫{a,b} g²(x)dx]^(1/2)+∫{a,b} g²(x)dx
即∫{a,b}[ f(x)+g(x)]²dx≤{[∫{a,b} f²(x) dx ] ^(1/2)+ [∫{a,b} g²(x)dx]^(1/2)}²
故{∫{a,b}[ f(x)+g(x)]²dx}^(1/2)≤[∫{a,b} f²(x) dx ] ^(1/2)+ [∫{a,b} g²(x)dx]^(1/2)

更一般地，对于p≥1，有
{∫{a,b}| f(x)+g(x)|^pdx}^(1/p)≤{∫{a,b} |f (x)|^p dx} ^(1/p)+ {∫{a,b} |g (x)|^pdx}^(1/p)
是否可以解决您的问题？

追问

答的不错，可惜不是我问的。。。0 0 ~