Question

等边三角形ABC中，∠B和∠C的平分线相较于点O，BO'CO的垂直平分线分别交BC与E'F，求证：BE=EF=FC

Answer 1

设BO,BC的垂直平分线分别交AB,AC与G,H
在三角形BEG与三角形OEG中
角BGF=角CHF=RT角
GE=GE
BG=OG
所以三角形BEG与三角形CFH全等
同理可证三角形CFH与三角形OFH全等
所以角EOF=180°-2角OBC-2角OCB=角A=60°
又因为角OEC=角OFC=角B=60°
所以OE=OF=EF
所以BE=CF=EF

Answer 2

证明：连接EO，FO
∵E是BO垂直平分线上的一点
∴EO=EB
同理，FO=FC
又∠OFE=∠OCF+∠COF（外角等于不相邻两个内角和）
=2∠OCF(等腰三角形两底角相等)
=∠ACB(角平分线定义)
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60度
即∠OFE=60度
同理∠OEF=60度
∴△OEF是等边三角形（底角为60度的等腰三角形是等边三角形）
OE=EF=OF=FC=BE
即BE=EF=FC得证

Answer 3

作F'O交于B'O垂直延长线交于AB边，同样作E'O交于C'O垂直延长线交于A‘C边，再通过等边三角形定律就可以得出以上结论。