Question

如图,在RT△ABC中,∠A=90°,AB=AC=a,圆O分别与AB,AC相切于点E,F，圆心O在BC上，求圆o的半径

Answer 1

解：连OE、连OF。

∵ AE、AF 均与圆O相切，

∴ OE ⊥ AB 且 OF ⊥ AC （圆的切线垂直于过切点的半径）

∴ ∠OEA = ∠OFA = 90°

连OA，在 Rt△OEA 和 Rt△OFA 中，OE = OF， OA= OA
∴ Rt△OEA ≌ Rt△OFA （HL）

∴ ∠OAE = ∠OAF

∴ AO平分∠BAC。

由等腰三角形（AB=AC=a）顶角平分线平分底边得：O为BC的中点。

而由相切知 OE⊥AB，
又∵AC⊥AB
∴OE‖AC

又∵O为BC的中点

∴OE是等腰Rt△ABC的中位线。

∴ OE = （1/2）× AC
= a/2。

即圆o的半径为 a/2。

注：本题牵涉到的知识点较多，相应解法也五彩缤纷，
如：先由勾股定理求出BC = √2 a，
再由AO平分∠BAC 以及 “直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半” 得出AO=(√2 a)/2
进而在Rt△EAO中，
由sin∠EAO=OE/AO 得：OE = AO × sin∠EAO
= (√2 a)/2 × sin45°
= (√2 a)/2 × √2 /2
= a/2

还可以由AO平分∠BAC 得：∠BAO = 45°
又 ∵ AB=AC ∴∠B = ∠C = 45°

∴ △AOB 是等腰Rt△

而圆O与AB相切于点E
∴ OE ⊥ AB 且 OE平分AB
∴ OE = （1/2）× AB （直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）
= a/2。

解完题后请您注意体会、总结、反思，达到以后一见题就有思路。
平时做题注意快速形成卷面，那么，学习效率必将提高。

Answer 2

图形