Question

在三角形ABC中，AB=2AC，角BAC=60度，P为三角形内一点，PA=根号3，PB=5，PC=2。求三角形的面积

Answer 1

【解】AB=2AC，角BAC=60度，
设AC=x,则AB=2x,根据余弦定理可得：
BC^2=x^2+4x^2-2•x•2x•cos60°，BC=√3x.
所以AB^2=AC^2+BC^2，∠ACB=90°.
延长AC到点D,使得CD=AC,连结BD.
则△BAD是等边三角形。

注意到∠BAC=60°，将△BAP绕点B顺时针旋转60°，到达△DAE的位置。
则AE=AP=√3，∠PAE=60°，△PAE是等边三角形。
PE=√3.

△PAD中，PC是AD边的中线，设PD=y,
利用如下结论：平行四边形两条对角线长的平方和等于它的四条边的平方和。
则有4^2+(2x)^2=(√3)^2+y^2+(√3)^2+y^2,
所以y^2=2x^2-1.

在△PED中，PE=√3，ED=PB=5，PD=y,根据余弦定理得：
Cos∠PED=(3+25- y^2)/(10√3)=(28- y^2) /(10√3)
=(29-2x^2) /(10√3).
所以sin∠PED=√[1- Cos²∠PED]= √[300-(29-2x^2) ²]/(10√3).

在△AED中，AE=√3，ED=5，AD=2X,
∠AED=∠PED+∠PEA=∠PED+60°,
cos∠AED=cos(∠PED+60°)=cos∠PED cos60°-sin∠PED sin60°
=(29-2x^2) /(20√3)- √[300-(29-2x^2) ²]/20.
根据余弦定理得：AD²= AE²+ ED²-2•AE•ED•cos∠AED,
即4x²=3+25-10√3•{(29-2x^2) /(20√3)- √[300-(29-2x^2) ²]/20},
28-4x²=(29-2x^2) /2-√3•√[300-(29-2x^2) ²]/2,
√3•√[300-(29-2x^2) ²]/2=(6 x²-27)/2,
300-(29-2x^2) ²=3(2 x^2-9) ²,
16x^4-224x^2+784=0,
x^4-14 x^2+49=0,
x^2=7.

∴直角三角形BCA的面积=√3 x²/2=7√3/2.

Answer 2

我今天早上也做了 不过答案有点离奇！2根号11+根号2+根号3+……的除以2 肯定错了。。。。。

Answer 3

碰到这题很多次了，下面是我做的，计算过程很简单，请参考：
http://zhidao.baidu.com/question/241219726.html

Answer 4

我只能推出三角形BAC是直角三角形，且BC⊥AC,可能得利用一些特殊方法，我实在想不出，想出来的话再告诉你，这些东西我都还是高中学的，不好意思啊

Answer 5

我妹妹问我，我还是做不出来，出总的竞赛也如此，情何以堪