Question

设数列｛an｝是等差数列，｛bn｝是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13。求｛an｝通项

求｛an/bn｝前n项和Sn

Answer 1

它是一个等比数列与等差数列对应项的乘积，这种题的算法是

两边乘以公比再错项相减

Answer 2

解：设等差数列的公差为d 等比数列的公比为q
由题意得： 1+2d+q^4=21 ..........(1)
1+4d+q^2=13………(2)
(1）×2－(2) 得2q^4-q^2-28=0
解得 q2=4 又已知{bn}各项为正，所以q=2
代入方程式(2)得d=2
所以an=a1+(n-1)×d=2n-1
bn=2^n-1
an/bn=(2n-1)/2^n-1
a1/b1=1
a2/b2=3/2
a3/b3=5/4
……
此时，新数列an/bn的前n项和为：
Sn=1+3/2+5/4+7/8+……(2n-1)/2^(n-1)……….(1)
2Sn=2+3+5/2+7/4……+(2n-1)/2^(n-2)………………..(2)
(2)-(1),得
Sn=2+(2+1+1/2+1/4+1/8+…+1/2n-3)-(2n-1)/2^(n-1)
括号中一共有n-3-(-1)+1=n-1项，括号中用等比数列求和法则Sn=a1(1-qn)/(1-q)，最后整理可得：
Sn＝2-(2n-1)/2^(n-1)+2(1-0.5^(n-1))/(1-0.5)
=2-(2n-1)/2^(n-1)+4-0.5^(n-3)
=6- [(2n-1)/2^(n-1)+ 4/2^(n-1)]
=6-(2n+3)/2^(n-1)
=6-(4n+6)/(2^n)

Answer 3

靠 错位相减法 怎么打啊 太复杂了 ~·····
设等差数列的公差为d 等比数列的公比为q
由题意得 1+2d+q^4=21（1） 1+4d+q^2=13（2）
（1）*2-（2） 得2q^4-q^2-28=0
解得 q^2=4 又由题意，知{bn}各项为正，所以q=2
带入（2）得d=2
所以an=2n-1 bn=2^(n-1)
an/bn=(2n-1)/2^(n-1) 叠加
a1/b1=1
a2/b2=3/2
……
sn=1+3/2+5/4+7/8+……(2n-1)/2^(n-1)(1)
2sn=2+3+……+(2n-1)/2^(n-2)（2)
(2)-(1),得 sn=6-(4n+6)/(2^n)