Question

函数f（x）=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点为x1,x2 (xi不等于x2）。且x1的绝对值加x2的绝对值等于2根号2，

函数f（x）=ax3+bx2-a2x(a>0)的两个极值点为x1,x2 (xi不等于x2）。且x1的绝对值加x2的绝对值等于2根号2，则b的最大值是？

我想了好久了，做不来，拜托大家乐

Answer 1

f'(x)=3ax²+2bx-a²,a>0
f'(x)=0有两不等实根x1,x2,x1≠x2
☞△>0☞b²+3a³>0,成立
∵|x1|+|x2|=2√2
x1=[-b-√(b²+3a³)]/3a<0,x2=[-b+√(b²+3a³)]/3a
可以得到-b-√(b²+3a³)<0☞x2<0
∴|x1|+|x2|=x1-x2=2√2
因为韦达定理:x1x2=-a/3,x1+x2=-2b/3a
进而x1+x2=2√[b²/a²+3a]/3=2√2
进而b²=18a²-3a³
对t=18a²-3a³
t'=36a-9a²☞t'=0☞a=0舍去,a=4
讨论得到:a=4取得最大即t=96
即b²=96☞bmax=4√6