Question

如图，直线y=-3/4x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，过点B的直线BC交x轴负半轴于点C

且OB、BC的长是x²-9x+20的两根的3倍。
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若点P是直线AB下方的点，且△PAB是有一个内角为30°的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）若点P是直线BC上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

2、解：∵AB⊥BC
∴∠ABP=90º
又∵⊿ABO∽⊿APB
∴AB∶AO=BP∶OB …① 或 AB∶OB=BP∶OA…②
方程x²-9x+20=0的根是4、5 ，∴|OB|=12 ，即b=12 , |BC|=15 ， ∴|OC|=9
∴直线AB：y= - (3/4)x+12
直线BC： y=(4/3)x+12
∴点A(16 ,0) , B(0,12) , P[x , （4/3)x+12]
∴|OA|=16 , |OB|=12 , |AB|=√[12²+16²] =20
|BP| = √[x²+(4/3·x)²] =(5/3)|x|
由①得 20∶16=(5/3)|x|∶12 ，x=±9
由②得 20∶12=(5/3)|x|∶16 ，x=±16
∴P1(9,24) , P2( - 9 , 0) , P3(16 , 100/3) ,P4( - 28/3)
第三问紧扣PQ是直线Y=b(常数)和OQ平行于BC（可设出直线方程）且菱形四边相等来做！