Question

求解一道数学题。要详细过程

四边形ABCD中，AB平行CD，AD=BD=CD=3，BC=4，则对角线AC的长是（ ）
没人麼？

Answer 1

如图

∵AD=BD=CD=3，∴A、B、C三点共圆，以D为圆心，AD为半径作⊙D，延长BD交⊙D于E

易得∠BAC=∠BEC（同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）

又∵AB‖CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠ACD=∠BEC

易得△DCA≌△DCE，∴AC=EC

∵BE是⊙D的直径，∴△BCE是直角三角形

∴EC²=BE²-BC²

∴AC=EC=√(BE²-BC²)=√[(2×3)²-4²]=2√5

Answer 2

先过B作CD边上的高BE，在直角三角形BE中，由勾股定理可以求出DE为1/3
再过A作CD的延长线的垂线AF，则易知DF＝DE＝1/3
在直角三角形ACF中，再由勾股定理可得AF^2+CF^2=AC^2
在直角三角形ADF中，可得AF^2+DF^2=AD^2
两式相减，得AC^2-AD^2=CF^2-DF^2
AC^2=(3+1/3)^2-(1/3)^2+3^3=20
可解出AC=根号20

Answer 3

思想是：在三角形ADC中运用余弦定理做，这样我们就要求角ADC，明显其余角BAD=BDC更好求，所以分三步走。【1】求角BDC；【2】求角ADC；【3】求AC

由余弦定理可知：在三角形BDC中有BC^2=BD^2+DC^2-2*BD*DC*cosBDC，解得cosBDC=1/9；
cosADC= - 1/9；
再由余弦定理有AC^2=AD^2+CD^2-2*AD*CD*cosADC,解得AC=root（20）