Question

数学问题（圆）

如图，在RtΔABC中，斜边BC=12，∠C=30度，D为BC的中点，ΔABC的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点。
（1）求证：AE⊥DE；
（2）计算：AC·AF的值。
请大家写出过程，谢谢

Answer 1

证明（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，D为BC的中点，
∴∠ABD=60°，AD=BD=DC．
∴△ABD为等边三角形．
∴O点为△ABD的中心（内心，外心，垂心三心合-）．
连接OA，OB，∠BAO=∠OAD=30°，
∴∠OAC=60°．
又∵AE为⊙O的切线，
∴OA⊥AE，∠OAE=90°．
∴∠EAF=30．
∴AE‖BC．
又∵四边形ABDF内接于圆O，
∴∠FDC=∠BAC=90°．
∴∠AEF=∠FDC=90°，即AE⊥DE
（2）由（1）知，△ABD为等边三角形，
∴∠ADB=60°．
∴∠ADF=∠C=30°，∠FAD=∠DAC．
∴△ADF∽△ACD，则 AD/AC=AF/AD
∴AD2=AC•AF，又AD= 1/2BC=6．
∴AC•AF=36．

Answer 2

连接CE，并求得CE长（这很简单）；再求出角OEC的角度（可利用直角三角形的边角关系或余弦定理等）。在三角形OEC内，OE=OC（都是半径），又已经求出了CE的长度和角OCE，利用余弦定理就可求出路的半径OE了。

Answer 3

答案:根据题意可知:CD为圆的弦,设O为圆心,R为半径,则有OC=OD=0E=R
已知CF=CD/2=300M,FE=90M,根据勾股定律可以算出可以知R^2=(R-EF)^2+(CD/2)^2=545