Question

两个高中数列的题

1.若{an}是等差数列且an=Sn/(n+c),求非零常数c
2.等差数列中，a10=23，a25=-22求｛an绝对值｝前n项的和
要详细过程

Answer 1

1、当n=1时a1=S1/(1+c)=a1/(1+c)，即ca1=0。因为c≠0，只能a1=0。
那么n=2时有a2=S2/(2+c)=a2/(2+c)，即(1+c)a2=0，得1+c=0或a2=0。
如果1+c=0，有c=-1，带回等式有an=Sn/(n-1) → Sn=(n-1)an，有an=Sn-S(n-1)=(n-1)an-(n-2)a(n-1)，化简有(n-2)[an-a(n-1)]=0。根据n的任意性，只能an=a(n-1)=…=a2。
由于已知{an}是等差数列，且a1=0，an=a2 (n≥2，n∈N*)，只能an=0 (n∈N*)。得到c为任意非零常数！！
如果a2=0也会是这个结论。
综合上述，我们能够求出{an}的通项公式是an=0 (n∈N*)。c为任意非零常数。

2、a25=a10+(25-10)d，代入数据有-22=23+15d，解得d=-3。数列首项a1=a10-9d=23-9*(-3)=50
|an|=|a1+(n-1)d|=|50+(n-1)*(-3)|=|53-3n|，|a1|=50
当n≤17时an>0，{|an|}的前n项之和Sn=n|a1|+n(n-1)d/2=-3n^2/2+103n/2；
当n≥18时an<0，{|an|}的前n项之和Sn=(-3*17^2/2+103*17/2)+[(n-17)|a18|+(n-17)(n-18)*3/2]=3n^2/2-103n/2+884

Answer 2

1. n=1 a1=S1/(1+c) a1/(1+c) c=1
2. a10=a1+9d=23
a25=a1+24d=-22
15d=-45
d=-3
a1=50
Sn=50n-3n(n-1)/2