Question

已知函数f(x)=x-1/e^x（1）求f（x)的单调区间和极值 （2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x）求证

x>2，f（x）>g（x）（3）若x1不等于x2且f（x1）=f（x2）求证x1+x2>4
已知函数f(x)=x-1/e^x（1）求f（x)的单调区间和极值 （2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x）求证：当x>2，f（x）>g（x）（3）若x1不等于x2且f（x1）=f（x2）求证x1+x2>4

Answer 1

f(x)=(x-1)/e^x.
(1)f'(x)=[e^x-(x-1)e^x]/e^(2x)=(2-x)/e^x,
∴x<2时f'(x)>0,f(x)↑;x>2时f'(x)<0,f(x)↓。
∴f(x)的极大值=f(2)=1/e^2。
（2）设h(x)=f(x)-g(x)=(x-1)/e^x-(3-x)/e^(4-x),
则h'(x)=(2-x)/e^x+(x-2)/e^(4-x)
=(x-2)[e^x-e^(4-x)]/e^4,
当x>2时，h'(x)>0,h(x)↑，
∴h(x)>h(2)=0,
∴f(x)>g(x).
(3)由（1），不妨设x1<2<x2,则4-x2<2,
f(x1)=f(x2)>f(4-x2)(由（2）），
由（1），x<2时f(x)↑，
∴x1>4-x2,
∴x1+x2>4.