Question

已知定义在（0，+∞）的函数f（x），对任意的实数x，y>0,都有f（xy）=f（x）+f（y）成立,且当x>1是。

已知定义在（0，+∞）的函数f（x），对任意的实数x，y>0,都有f（xy）=f（x）+f（y）成立,且当x>1时。f（x）<0。

（1）求f(x)的值
（2）证明f（x）在（0，正无穷大）是减函数
（3）设m、n属于（0，正无穷大）且m不等于n。
比较f（（m+n）\2）与[f（m）+f（n）]/2的大小
另外一个 求y=x^2+1/(x^2+2)值域

Answer 1

f(y) = f(1·y) = f(1)+f(y) ==> f(1) = 0
f(x)+f(1/x) = f(x·1/x) = f(1) = 0
f(1/x) = -f(x)
(1)求f(x)的值
f(x)=logax (a为底数x为真数)
∵当x>1时f（x）<0
∴0<a<1
（2）证明f（x）在（0，正无穷大）是减函数
f(x)=logax=lnx/lna
∵a<1
∴f'(x)=1/x/lna<0
∴f（x）在（0，正无穷大）是减函数
（3）设m、n属于（0，正无穷大）且m不等于n。
比较f（（m+n）/2）与[f（m）+f（n）]/2的大小
∵f''(x)=-1/x^2/lna>0，曲线是凸的
∴f（（m+n）/2）>[f（m）+f（n）]/2

补充：
y = x^2+1/(x^2+2) = x^2+2 + 1/(x^2+2) - 2
=( √(x^2+2) - 1/√(x^2+2) )^2
是增函数，当x^2=0时取得最小值(√2-1/√2)^2=1/2
所以值域为(1/2,+∞)

Answer 2

(1)f(x)=logax 0<a<1
(2)0<x1<x2 f(x1)-f(x2)=logax1-logax2=loga(x1/x2)>0
(3)把值代入函数中化简能比较大小

Answer 3

值域y>0.5