Question

数列题目递推公式求通项公式

一数列的递推公式为1/An-An=A(n-1)+1/A(n-1), A1=1,求数列的通项公式

(最后答案为An=根号n-根号n-1),请求过程

Answer 1

1/An-An=A(n-1)+1/A(n-1)
1/An-1/A(n-1)=An+A(n-1)
所以1/A2-1/A1=A1+A2
1/A3-1/A2=A2+A3 .........

1/An-1/A(n-1)=An+A(n-1)
以上各式相加得到1/An-1/A1=An+A(n-1)+A(n-1)+A(n-2)+...+A3+A2+A2+A1
=2Sn-A1-An
即 1/An-1/A1=2Sn-A1-An
又 A1=1 所以1/An-1=2Sn-1-An，也就是
1/An=2Sn-An
因为An=Sn-S(n-1)，带入上式化简可得（Sn为数列的前n项和）
Sn^2-S(n-1)^2=1;
又由于S1=A1=1;
所以 可求 Sn^2=n,
An=Sn-Sn-1=根号n-根号(n-1).
过程写的有点粗糙，请自己整理，详细化