Question

如何用斯特瓦尔特定理证明托勒密定理

要有详细过程，谢谢

Answer 1

AHFE是圆内接四边形

AH=a
AE=d
HF=b
FE=c
AF=e
HE=f

cos角HFE=(b^2+c^2-f^2)/2bc
cos角HAE=(a^2+d^2-f^2)/2ad
因为角互补，所以cos角HFE＋ cos角HAE＝0
所以(b^2+c^2-f^2)/2bc+(a^2+d^2-f^2)/2ad=0
所以ad(b^2+c^2-f^2)+bc(a^2+d^2-f^2)=0

同理cos角AHF＋ cos角AEF＝0

cd(a^2+b^2-e^2)+ab(c^2+d^2-e^2)=0

(ab+cd)(bd+ac)=ad(b^2+c^2)+bc(a^2+d^2)=f^2(ad+bc)注意这个式子很重要！！
(ad+bc)(ac+bd)=cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)=e^2(ab+cd)注意这个式子很重要！！
相乘
ac+bd=ef
得到了托勒密定理

附加一句，斯特瓦尔特定理就是用余弦定理搞定的。