Question

奥林匹克数学竞赛题

已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=o的两个整数根恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大一，求a+b+c的值已

Answer 1

设x²+ax+b=0的两根为：p,q（p不大于q，且为整数）;x²+cx+a=o的两根为p+1,q+1；
韦达定理：-（p+q）=a=(p+1)(q+1)，整理得：p(q+2)=-(2q+1),各因子均为整数。显然q不等于
-2.则有
（q+2）|(2q+1),得（q+2）|（(2q+1)-2*（q+2））,（q+2）|3，则q+2=3、1、-1或-3。代回p(q+2)=-(2q+1),得p=-1,q=1。其它解舍去。则有：a=0,b=-1,c=-2.a+b+c=-3.

Answer 2

设方程x²+cx+a=0的两个整数根为：x1，x2，则：
x1+x2=-c，x1x2=a。
依题意可知：
方程x²+ax+b=0的两个根为：x1-1，x2-1，则：
x1-1+x2-1=-a， (x1-1)(x2-1)=b，
所以x1+x2=-a+2=-c， x1x2-(x1+x2)+1=a+c+1=b，
即c=a-2， b=a+c+1=2a-1。
又因为方程x²+cx+a=0的两个根都是整数，
即方程x²+(a-2)x+a=0的两个根都是整数，则：
a是整数，且(a-2)^2-4a>0，
a^2-8a+4>0，
所以a>=8，或a<=0。
试算，可得：
a=8时，c=6，b=15，
方程x²+cx+a=0的两个根为：-2，-4；
方程x²+ax+b=0的两个根为：-3，-5；
满足题设条件。
故a+b+c=29；
a=0时，c=-2， b=-1，
方程x²+cx+a=0的两个根为：2，0；
方程x²+ax+b=0的两个根为：1，-1；
满足题设条件。
故a+b+c=-3。

Answer 3

x1+x2=-c/2 x1+1+x2+1=-a/2 推出 a=c-2
x1*x2=a (x1+1)(x2+1)=a-c/2+1=b
a+b+c=2.5c-3

Answer 4

x²+cx+a=o的两个整数根为X1，X2,
c^2-4*1*a=0
X1+ X2= -c
X1*X2=a
x²+ax+b=0的两个根为X3，X4,
X3+X4=-a
X3*X4=b
设x1>x2
X1+ X2-2=X3+X4=-a=-c-2
(X1-1)*(X2-1)=X1*X2-(X1+ X2)+1=a-(-c)+1=a+c+1=X3*X4=b

c^2-4*1*a=0
-a=-c-2
a+c+1=b
以上三式计出abc

Answer 5

-3 或 29 用根与系数关系