Question

一个关于X的一元二次方程 x的平方+cx+a=0的两整数解恰好比方程 x的平方+ax+b=0的两根大1.求a+b+c的值。

要讲清楚

Answer 1

由方程x²+cx+a=0的两个根恰好比 x²+ax +b=0的两个根大1可知 ，
方程（x+1）²+c（x+1）+a=0与方程 x²+ax +b=0的根一样，所以（x+1）²+c（x+1）+a=x²+ax +b，
得：c=a-2，b=2a-1.
问题转化为：方程x²+（a-2)x+a=0的两个根恰好比 x²+ax +(2a-1)=0的两个根大1且都为整数.
考查第一个方程：两个根都为整数，而两根之积为a，所以a是一个整数。
根的判别式△=（a-2)²-4a=a²-8a+4=(a-4)²-12，这个数必须是一个平方数。
又因为(a-4)²也是一个平方数，而两个平方数相差12的只有16和4，故(a-4)²=16，a=0或8.
当a=0时，b=-1，c=-2，第一个方程两根为0、2,第二个方程两根为-1,1。a+b+c=-3；
当a=8时，b=15，c=6，第一个方程两根为-2、-4,第二个方程两根为-3,-5。a+b+c=29；
如果不懂，也可以用韦达定理解，然后判断奇偶性也可以做出来，希望对你有所帮助!

Answer 2

你好！
设x²+cx+a=0的两整数根为m,n ,m、n∈Z、

则(x-m)(x-n)=0 ==>x²-(m+n)x+mn=0

由题意x²+ax+b=0的两整数根为m-1,n-1

则(x-m+1)(x-n+1)=0==>x²-(m+n-2)x+mn-m-n+1=0

所以m+n=-c , nm=a , m+n-2= -a , mn-m-n+1=b

所以nm+m+n-2=0

(m+1)(n+1)=3

又m+1,n+1∈Z

不妨设m+1=3,n+1=1 或者m+1=-3,n+1=-1

所以m=2,n=0 或m= -4,n=-2

所以a=0 ,c=-2 ,b=-1 或 a=8,c=6,b=-15

a+b+c= -1或 -3

追问

那个n什么z是什么？ 第二行是怎么来的，咋是x-m 乘以x-n 你看这个http://zhidao.baidu.com/question/239560849.html

Answer 3

上面的解答不正确。
http://zhidao.baidu.com/question/239560849.html的答案也不全面
还需要证明，是否只有一个解

追问

那你可不可以解