Question

在直角坐标系中，O为做坐标原点，点A的坐标为（2，2），

在直角坐标系中，O为做坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O,A两点），过点C作CD垂直X轴，垂足为D，以CD为边在右侧作矩形CDEF且CF=2CD,连接AF并延长交X轴的正半轴于点B，连接OF,设OD=t
（1）求tan角FOB的值
（2）用含t的代数式表示三角形表示三角形OAF的面积S
（3）是否存在点B，使以B,E,F为顶点的三角形与三角形OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

在直角坐标系中，O为做坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O,A两点），过点C作CD垂直X轴，垂足为D，以CD为边在右侧作矩形CDEF且CF=2CD,连接AF并延长交X轴的正半轴于点B，连接OF,设OD=t
（1）求tan角FOB的值
（2）用含t的代数式表示三角形表示三角形OAF的面积S
（3）是否存在点B，使以B,E,F为顶点的三角形与三角形OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点坐标，若不存在，请说明理由。
解：(1). tan∠FOB=EF/OE=t/3t=1/3
(2),△OAF的面积S=△OAB的面积S₁-△FOB的面积S₂
AB所在直线的方程为y=[(t-2)/(3t-2)](x-2)+2
令y=0，得(t-2)(x-2)+2(3t-2)=0，x=-2(3t-2)/(t-2)+2=4t/(2-t)=OB
故S₁=(1/2)×2×[4t/(2-t)]=4t/(2-t)
S₂=(1/2)×t×[4t/(2-t)]=2t²/(2-t)
∴S=4t/(2-t)-2t²/(2-t)=(4t-2t²)/(2-t)]=2t(2-t)/(2-t)=.2t
(3).若RT△BEF∽RT△OEF，则∠FOE=∠FBE于是OF=BF,OE=BE=OB/2
即有3t=2t/(2-t)，6t-3t²=2t；3t²-4t=t(3t-4)=0；得t=4/3;此时B点的坐标为（8；0）。
若RT△BEF∽RT△FEO,此时∠FOE=∠BFE，即有FE/BE=OE/FE,也就是有FE²=BE×OE
其中FE=t；OE=3t；BE=OB-OE=4t/(2-t)-3t=(3t²-2t)/(2-t)
于是得t²=3t(3t²-2t)/(2-t)；即有1=3(3t-2)/(2-t)；由此得t=4/5.此时B点的坐标为（8/3，0）

Answer 2

解：（1）∵A（2，2），
∴∠AOB=45°，
∴CD=OD=DE=EF=t，
∴tan∠FOB=t
2t
=1
2
．（3分）

（2）由△ACF∽△AOB得2 2
- 2
t
2 2

=t
OB
．
∴OB=2t
2-t
，
∴S △OAB
=2t
2-t
(0＜t＜2)．（4分）

（3）要使△BEF与△OFE相似，
∵∠FEO=∠FEB=90°，
∴只要OE
EB
=EF
EF
或OE
EF
=EF
EB
．
即：BE=2t或EB=1
2
t，
①当BE=2t时，BO=4t，
∴2t
2-t
=4t，
∴t=0（舍去）或t=3
2
，
∴B（6，0）．（2分）
②当EB=1
2
t时，
（ⅰ）当B在E的左侧时，OB=OE-EB=3
2
t，
∴2t
2-t
=3
2
t，
∴t=0（舍去）或t=2
3
．
∴B（1，0）．（2分）
（ⅱ）当B在E的右侧时，OB=OE+EB=5
2
t，
∴2t
2-t
=5
2
t，
∴t=0（舍去）或t=6
5
，
∴B（3，0）．（2分）