Question

函数极限问题

设f(x+1)=lim(x→∞) ((n+x)/(n-2))^n，则f(x)=?
我的解法是原式=lim(x→∞) ((1+x/n)/(1-2/n))^n=(1+x/n)^((n/x)*x)=e^x
将x=t-1代入=f(t)=e^(t-1) 。正确答案是f(t)=e^(t+1) 请问哪不正确

Answer 1

估计你题目抄错了，极限中应该是(n→∞) ，不是(x→∞) 。纠正一下！
你的做法无缘无故地使 1/n 不见了，人家外面有个 ^n 呢，这可是无穷大次方啊！
原题目： 设f(x+1)=lim(x→∞) ((n+x)/(n-2))^n，则f(x)=?
利用(1+0)^∞→e，我这里采用了不严格形式，帮助理解的。至于是否(1+∞)^0→e，不得而知
f(x+1)=lim(n→∞) ((n+x)/(n-2))^n
＝ lim(n→∞) ((n-2+x+2)/(n-2))^(n-2+2)
＝ lim(n→∞) (1 +(x+2)/(n-2))^(n-2) 至于外面的+2次方，因为是(1+0)^2→1
＝e^(x+2)
下面变量替换，你就会了
特别注意极限是一种过程，在这个过程中，谁的趋势怎么发展，很重要，也难怪，所有教科书都声称两个重要极限，怎么重要，难道是解题用得多吗？都不说，这就是目前的中国式教育，不敢多说了，会惹有些阶层不高兴的。

追问

＝ lim(n→∞) (1 +(x+2)/(n-2))^(n-2) 至于外面的+2次方，因为是(1+0)^2→1
＝e^(x+2)
没明白n-2次方怎么变成x+2了

追答

(n-2+x+2) / (n-2) = 1 + (x+2)/(n-2)
这样做的目的是构造：(1+0)^∞ ＝e
其实更一般地： Lim {当f(n)→无穷大} [1 + g(x) / f(n)] ^ f(n) ＝e ^ g(x)
你原题目极限中应该是(n→∞) ，不是(x→∞) 。
如果按照你原题目的x→∞，形式变为 ∞^n，因为n可以随便取值的，比方n＝1也没有违背你的意思呀。