Question

已知 若a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=0,求证至少abc有两数相等

Answer 1

证：
a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=0
a²[(b-a)-(c-a)]+b²(c-a)+c²(a-b)=0
a²(b-a)-c²(b-a)+b²(c-a)-a²(c-a)=0
(a²-c²)(b-a)+(b²-a²)(c-a)=0
(a+c)(a-c)(b-a)+(b+a)(b-a)(c-a)=0
(a-c)(b-a)[(a+c)-(b+a)]=0
(a-c)(b-a)(c-b)=0
要等式成立，则a-c，b-a，c-b中至少有一为0
若a-c=0，则a=c
若b-a=0，则b=a
若c-b=0，则b=c
因此，a，b，c中至少有两数相等。

Answer 2

b-c=b-a+a-c
a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=0
a^2[b-a+(a-c)]+b^2(c-a)+c^2(a-b)=0
a^2(b-a)+a^2(a-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=0
a^2(b-a)+c^2(a-b)+a^2(a-c)+b^2(c-a)=0
a^2(b-a)-c^2(b-a)+a^2(a-c)-b^2(a-c)=0
(a^2-c^2)(b-a)+(a^2-b^2)(a-c)=0
(a-c)(a+c)(b-a)+(a-b)(a+b)(a-c)=0
(a-c)(a+c)(b-a)+(a-b)(a+b)(a-c)=0
-(a-c)(a+c)(a-b)+(a-b)(a+b)(a-c)=0
(a-b)(a+b)(a-c)-(a-c)(a+c)(a-b)=0[提取公因式(a-c)(a-b)]
(a-c)(a-b)(a+b-a-c)=0
(a-c)(a-b)(b-c)=0

上面的式子要等于0，很明显要三个因式中至少有一个等于0..
即a=c或者a=b或者b=c
所以至少abc有两数相等