Question

已知函数f（x）=1/2 x²+alnx （a∈R）。（1）若f（x）在[1，e]上是增函数，求a的取值范围；

（2）若a=1，a<=x<=e证明：f（x）<2/3 x³

Answer 1

1)
f（x）=1/2 x²+alnx
f'=x+a/x
若f（x）在[1，e]上是增函数
等价于
f‘>=0
x+a/x>=0
x∈[1，e]
x^2+a>=0
a>=-x^2
为了保证恒成立
a>=-1

2)若a=1，a<=x<=e

f=x^2/2+lnx
令g(x)=2x^3/3
令h=f-g=x^2/2+lnx-2x^3/3
h'=x+1/x-2x^2=（x^2+1-2x^3）/x
=(1-x)(2x^2+x+1)/x
因为 x∈[1，e]
所以当0<x<=1时,h为增函数；
所以当1<x<=e时,h为减函数；
hmax=h(1)=-1/6
所以h<0
也即f<g(x)=2x^3/3

Answer 2

求导先，在根据在区间范围内单调性，就可以求出a了。 这种题一般都是要求导的啦。