Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作○O交斜边AC于D,E为CD上一点，BE交○O于点F,延长AF交BC于点G。

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作○O交斜边AC于D,E为CD上一点，BE交○O于点F,延长AF交BC于点G。
（1）求证：△ADF∽△AGC
(2)若CE=DE=2，AD=5，求BG/CG的值。

Answer 1

（1）连接OF，OD
因为ADFB为圆O上的4个点，所以OA=OD=OF=OB，
所以∠OAD=∠ODA，∠ODF=∠OFD，∠OBF=∠OFB
因为在四边形ADFB中∠OAD+∠ADF+∠DFB+∠OBF=360°
所以∠OAD+∠DFA+∠AFB=180°
在△ABF中，OA=OF=OB
所以∠OAF=∠OFA，∠OFB=∠OBF
因为△ABF中内角和为180读，所以∠OFA+∠OFB=90°，即∠AFB=90°
所以∠OAD+∠DFA=90°，又因为在RT△ABC中∠OAD+∠C=90°
所以∠C=∠DFA，又因为∠CAG=∠FAD，所以△AGC∽△ADF
（2）因为△AGC∽△ADF，所以AD：AF=AG：AC，所以AD*AC=AF*AG
又因为∠AFB=∠ABC=90°，∠FAB=∠BAG，所以△ABF∽ △AGB，所以AB²=AF*AG
所以AB²=AD*AC=45，所以在RT△ABC中，BC²=AC²-AB²=81-45=36，所以BC=6
连接BD，因为OA=OD=OB，所以∠OAD=∠ADO，∠ODB=∠OBD，所以∠ADB=90°
所以∠EDB=90°，BD²=AB²-AD²=20
在RT△BDE中，BE²=BD²+DE²=24，所以BF+FE=2√6。
在RT△ABF中，AF²+BF²=AB²=45；在RT△ACF中，AF²+EF²=AE²=49
所以EF²-BF²=4，级（EF-BF）(EF+BF)=4，所以EF-BF=√6/3
所以FB=5√6/6 ，EF=7√6/6
所以AF²=AB²-BF²=245/6，AF=7√30/6
因为∠BAF+∠ABF=90°，∠GBF+∠ABF=90°，所以∠BAF=∠GBF，∠AFB=∠BFG=90°
所以△ABF∽ △BFG，所以AF：FB=AB：BG，所以BG=15/7
所以CG=BC-BG=27/7
所以BG/CG=5/9