Question

线性代数 矩阵证明

已知AB=A+B，证：
1。(A-I)可逆；
2。AB=BA 。

Answer 1

有 AB-A-B=0
(A-I)B - A =0
(A-I)B - (A-I) =I
即 (A-I)(B-I)=I
所以A-I，可逆。

故 (A-I)(B-I) = (B-I)(A-I) =I
即有 AB -A -B +I =BA-B-A+I
整理一下有 AB=BA

Answer 2

1. 我们只要找到一个矩阵P，使得它和A-I相乘为I即可。
(A-I)P = AP - P = I
AP = I + P
而AB = A + B
这两个式子多少有些相似。
设P = B - I
AP = AB - A = A + B - A = B
I + P = I + B - I = B
可见，这样的P满足要求。
于是，A - I可逆，其逆矩阵为B - I。
这个主要靠观察猜出逆矩阵是什么，猜的思路应该不是唯一的。

2. 因为A - I和B - I互为逆矩阵，则
I = (A - I)(B - I) = (B - I)(A - I)
于是AB - (A + B) + I = BA - (A + B) + I
所以AB = BA。

Answer 3

搞错了 高手已答 闪人 呵呵