Question

充分条件和必要条件，数学

Answer 1

先证明q=-1是必要条件a(n)是等比数列的必要条件。
那么我们首先知道，S(n)是等比数列a(n)的前n项的和,，那么我们知道S(1)=a(1)=p+q
a(2)=S(2)-S(1)=p的平方-p，a(3)=S(3)-S(2)=p的立方-p的平方
因为a(n)是等比数列，所以a(3)/a(2)=a(2)/a(1)，a(3)/a(2)=p，那么a(2)/a(1)=p
有p的平方-p=p（p+q）得到q=-1，所以当a(n)是等比数列时，q=-1,所以q=-1是a(n)是等比数列的必要条件。
当q=-1时，当n>2时，那么S(n)=p的n次方-1,S(n-1)=p的n-1次方-1,S(n+1)=p的n+1次方-1,
那么a(n+1)=S(n+1)-S(n)=p的n+1次方-1-p的n次方+1=p的n+1次方-p的n次方
同理得到：a(n)=p的n次方-p的n-1次方,a(n-1)=p的n-1次方-p的n-2次方
得到a(n+1)/a(n)=a(n)/a(n-1)=p，也就是说当n>2时，跟q没有关系，q可以为任何值。
可是当n=2时，也就是求前三项时，那么就有a(3)/a(2)=a(2)/a(1)=p，跟n>2时相等，所以q=-1是a(n)是等比数列的充分条件条件。
所以q=-1是a(n)是等比数列的充分必要条件。

Answer 2

Answer 3

Answer 4

Answer 5

充分性:
当q=-1时,原式化为Sn=p^n-1
n>1时,Sn-1=p^(n-1)-1
Sn-Sn-1=an=p^n-1-p^(n-1)+1
an=p^(n-1)*(p-1)
an+1=p^n*(p-1)
an+1/an=p
当n=1时,S1=a1=p-1=p^0*(p-1)
即当n=1时也符合通项公式
∴当q=-1时,{an}是以p-1为首项,p为公比的等比数列.

必要性:
设{an}是等比数列,由已知得公比b≠1,否则其求和公式为Sn=na1,不符合条件Sn=p^n+q的形式
那麼Sn=a1*(b^n-1)/(b-1)=a1/(b-1)*b^n-a1/(b-1)
当a1/(b-1)=1时,Sn=b^n-1
对比题中等式,可知q=-1