Question

设A使MN矩阵，秩A=n-4，a1,a2,a3,a4为齐次线性方程组AX=0的四个线性无关的解向量，证明a1,a1+a2,a1+a2+a2,

设A使MN矩阵，秩A=n-4，a1,a2,a3,a4为齐次线性方程组AX=0的四个线性无关的解向量，证明a1,a1+a2,a1+a2+a2,a1+a2+a3+a4是AX=0的一个基础解系

Answer 1

第1步:
因为a1,a2,a3,a4为齐次线性方程组AX=0的解,
所以它们的线性组合 a1,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4 也是AX=0的解
第2步:
需证 a1,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4 线性无关.
设 k1a1 + k2(a1+a2) + k3(a1+a2+a3) + k4(a1+a2+a3+a4) = 0
则 (k1+k2+k3+k4)a1 + (k2+k3+k4)a2 + (k3+k4)a3 + k4a4 = 0
由 a1,a2,a3,a4 线性无关, 所以有
k1+k2+k3+k4 = 0
k2+k3+k4 = 0
k3+k4 = 0
k4 = 0
解得 k1=k2=k3=k4=0
所以 a1,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4 线性无关
第3步:
因为 r(A) = n-4,
所以AX=0的基础解系所含向量的个数为 n-r(A) = 4

综上有 a1,a1+a2,a1+a2+a2,a1+a2+a3+a4是AX=0的一个基础解系#

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Answer 2

的，不符合基础解系的定义，用排除法都应该选D了
其次D确实是对的，因为α，β，γ构成了解空间的一组基，所以α，α+β，α+β+γ同样也是一组基