Question

平面直角坐标系

25.如图8，在直角坐标系中，已知B（b，0），C（0，c），且|b+3|+（2c-8）2=0
（1）求B、C的坐标；
（2）点A、D是第二象限内的点，点M、N分别是x轴和y轴负半轴上的点，∠ABM=∠CBO,CD||AB，MC、NB所在直线分别交AB、CD于E、F，若∠MEA=70°，∠CFB=30°，求∠CMB-∠CNB的值；
（3）如图9，AB||CD,Q是CD上一动点，CP平分∠DCB，BQ与CP交于点P，求∠DQB+∠QBC/∠QPC的值。

Answer 1

解：
（1）
∵ | b+3 | +（2c-8）的平方= 0
又∵| b+3 | 与 （2c-8）的平方 均为非负数
∴ | b+3 | = 0 且 （2c-8）的平方 = 0
∴ b = -- 3 c = 4
∴ 点B坐标为（ -- 3， 0 ）
点C坐标为（ 0， 4 ）

（2）
设直线CD与 x 轴 相较于点G

∵ CD || AB
∴ ∠ABM = ∠CGB （两直线平行，同位角相等）--------------------------- ①

∵∠ABM = ∠CBO （已知） --------------------------------- ②

由 ① ② 知：∠CGB = ∠CBO

∴ CB = CG 即△CGB 是等腰三角形

在等腰△CGB 中，
∵ CO 垂直于底边BG
∴ CO 平分顶角，即∠BCO = ∠GCO

∵ ∠MEA 是△MEB的一个外角
∴ ∠MEA = ∠CMB + ∠ABM
∴ ∠CMB = ∠MEA -- ∠ABM
= 70° -- ∠ABM
= 70° -- ∠CBO （已知∠ABM=∠CBO）

∵ ∠CNB 是△CNF的一个外角
∴ ∠CNB = ∠FCN + ∠CFB
= ∠GCO + 30°

∴ 待求式 ∠CMB --∠CNB = （70° -- ∠CBO） -- （∠GCO + 30°）
= 70° -- ∠CBO -- ∠GCO -- 30°
= 40° -- （∠CBO + ∠GCO ）
= 40° -- （∠CBO + ∠BCO ） （∠BCO = ∠GCO 已证）
= 40° -- 90°
= -- 50°

（3）
∵ CP平分∠DCB
∴ ∠DCB = 2∠PCB

∵ ∠DQB 是△QBC的一个外角
∴ ∠DQB = ∠QBC + ∠QCB
= ∠QBC + ∠DCB
= ∠QBC + 2∠PCB

∴ ∠DQB + ∠QBC = （∠QBC + 2∠PCB）+ ∠QBC
= 2∠QBC + 2∠PCB
= 2（∠QBC + ∠PCB）--------------------------- ③

∵ ∠QPC 是△PCB 的一个外角
∴ ∠QPC = ∠PBC + ∠PCB
= ∠QBC + ∠PCB -------------------------- ④

由 ③ ④ 知：（∠DQB + ∠QBC）/ ∠QPC
= [ 2（∠QBC + ∠PCB ] / （∠QBC + ∠PCB）
= 2
即第三问的结果为 2。

Answer 2

(1)∵|b+3|+(2c-8)^2=0  

同时|b+3|≥0，(2c-8)^2≥0

∴|b+3|=0， (2c-8)^2=0

∴b=-3，c=4

∴B(-3，0)，C(0，4)

(2)

△CFN中∠CFN+∠CNF+∠FCN=180°

∴∠CFN+∠CNF+∠FCM+∠MCN =180°

∵∠CFN=∠CFB=30°

∵AB‖CD

∴∠FCM=∠MEA=70°

∴30°+∠CNF+70°+∠MCN=180°

∴∠CNF+∠MCN=180°-100°=80°

∵∠MCN=∠MCO=90°-∠CMO

∴∠CNF+90°-∠CMO =80°

∴∠CNF-∠CMO=80°-90°

∴∠CMO-∠CNF=10°

∴∠CMB-∠CNB=10° 

(3)

以下内容参考自楼上“刘和宸”的内容

∵∠DQB=∠QBC+∠QCB=∠QBC+2∠QCP

∴∠DQB+∠QBC=2∠QBC+2∠QCP=2(∠QBC+∠QCP)

∵∠QPC=∠QBC+∠BCP  同时∠BCP=∠QCP

∴∠DQB+∠QBC=2(∠QBC+∠QCP)= 2(∠QBC+∠BCP)=2∠QPC

∴(∠DQB+∠QBC)/∠QPC=2

结果为2