Question

请教高手一道概率题

篮球队甲和乙进行比赛，若有一队胜4场则比赛结束。设甲队和乙队在比赛时的胜率都是1/2。现令X表示甲队获胜的次数，Y表示乙队获胜的次数。
（1）求X，Y的联合分布表
（2）求比赛场数的数学期望

Answer 1

　　（1）
　　如果横列表示X，纵列表示Y，可以得到下面的表格
　　0 1 2 3 4 ∑Y
　　0 0 0 0 0 1/16 1/16
　　1 0 0 0 0 1/8 1/8
　　2 0 0 0 0 5/32 5/32
　　3 0 0 0 0 5/32 5/32
　　4 1/16 1/8 5/32 5/32 0 1/2
　　∑X 1/16 1/8 5/32 5/32 1/2 1
　　分析一下，首先，这个是表示比赛结束时，两队分别获胜的次数
　　所以在没有一队达到获胜次数4的话，比赛不会结束，也就是其联合概率为零
　　当然，不可能两队都获胜，所以P（4,4）的联合概率也为0
　　就拿X获胜的情况分析（Y是一样的）
　　比赛总局数为4，也就是X连赢四场时P（4,0）=（1/2）^4=1/16
　　比赛总局数为5，Y在前四场赢一场，X在前四场赢三场，第五场获胜
　　P（4,1） = C（4,1）* （1/2）*（1/2）^3 * （1/2） = 1/8
　　比赛总局数6，Y在前五场赢两场，X在前五场赢3场，第六场获胜
　　P（4,2） = C（5,2）* （1/2）^2 * （1/2）^3 *（1/2） = 5/32
　　同理，比赛局数为7时
　　P（4,3） = C（6,3）* （1/2）^3 *（1/2）^3 *（1/2） = 5/32
　　验证一下加和为1，正确

　　（2）
　　由上一个就可以知道，比赛场数可能为4,5,6,7
　　E = 4 * [P（4,0）+P（0,4）] + 5 *[P（4,1）+P（1,4）] + 6*[P（4,2）+P（2,4）]+7*[P（4,3）+P（3,4）] = 4*（1/16）*2+5*（1/8）*2+6*（5/32）*2+7*（5/32）*2 = 93/16 = 5.8125