
请教高手一道概率题
篮球队甲和乙进行比赛,若有一队胜4场则比赛结束。设甲队和乙队在比赛时的胜率都是1/2。现令X表示甲队获胜的次数,Y表示乙队获胜的次数。(1)求X,Y的联合分布表(2)求比...
篮球队甲和乙进行比赛,若有一队胜4场则比赛结束。设甲队和乙队在比赛时的胜率都是1/2。现令X表示甲队获胜的次数,Y表示乙队获胜的次数。
(1)求X,Y的联合分布表
(2)求比赛场数的数学期望 展开
(1)求X,Y的联合分布表
(2)求比赛场数的数学期望 展开
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(1)
如果横列表示X,纵列表示Y,可以得到下面的表格
0 1 2 3 4 ∑Y
0 0 0 0 0 1/16 1/16
1 0 0 0 0 1/8 1/8
2 0 0 0 0 5/32 5/32
3 0 0 0 0 5/32 5/32
4 1/16 1/8 5/32 5/32 0 1/2
∑X 1/16 1/8 5/32 5/32 1/2 1
分析一下,首先,这个是表示比赛结束时,两队分别获胜的次数
所以在没有一队达到获胜次数4的话,比赛不会结束,也就是其联合概率为零
当然,不可能两队都获胜,所以P(4,4)的联合概率也为0
就拿X获胜的情况分析(Y是一样的)
比赛总局数为4,也就是X连赢四场时P(4,0)=(1/2)^4=1/16
比赛总局数为5,Y在前四场赢一场,X在前四场赢三场,第五场获胜
P(4,1) = C(4,1)* (1/2)*(1/2)^3 * (1/2) = 1/8
比赛总局数6,Y在前五场赢两场,X在前五场赢3场,第六场获胜
P(4,2) = C(5,2)* (1/2)^2 * (1/2)^3 *(1/2) = 5/32
同理,比赛局数为7时
P(4,3) = C(6,3)* (1/2)^3 *(1/2)^3 *(1/2) = 5/32
验证一下加和为1,正确
(2)
由上一个就可以知道,比赛场数可能为4,5,6,7
E = 4 * [P(4,0)+P(0,4)] + 5 *[P(4,1)+P(1,4)] + 6*[P(4,2)+P(2,4)]+7*[P(4,3)+P(3,4)] = 4*(1/16)*2+5*(1/8)*2+6*(5/32)*2+7*(5/32)*2 = 93/16 = 5.8125
如果横列表示X,纵列表示Y,可以得到下面的表格
0 1 2 3 4 ∑Y
0 0 0 0 0 1/16 1/16
1 0 0 0 0 1/8 1/8
2 0 0 0 0 5/32 5/32
3 0 0 0 0 5/32 5/32
4 1/16 1/8 5/32 5/32 0 1/2
∑X 1/16 1/8 5/32 5/32 1/2 1
分析一下,首先,这个是表示比赛结束时,两队分别获胜的次数
所以在没有一队达到获胜次数4的话,比赛不会结束,也就是其联合概率为零
当然,不可能两队都获胜,所以P(4,4)的联合概率也为0
就拿X获胜的情况分析(Y是一样的)
比赛总局数为4,也就是X连赢四场时P(4,0)=(1/2)^4=1/16
比赛总局数为5,Y在前四场赢一场,X在前四场赢三场,第五场获胜
P(4,1) = C(4,1)* (1/2)*(1/2)^3 * (1/2) = 1/8
比赛总局数6,Y在前五场赢两场,X在前五场赢3场,第六场获胜
P(4,2) = C(5,2)* (1/2)^2 * (1/2)^3 *(1/2) = 5/32
同理,比赛局数为7时
P(4,3) = C(6,3)* (1/2)^3 *(1/2)^3 *(1/2) = 5/32
验证一下加和为1,正确
(2)
由上一个就可以知道,比赛场数可能为4,5,6,7
E = 4 * [P(4,0)+P(0,4)] + 5 *[P(4,1)+P(1,4)] + 6*[P(4,2)+P(2,4)]+7*[P(4,3)+P(3,4)] = 4*(1/16)*2+5*(1/8)*2+6*(5/32)*2+7*(5/32)*2 = 93/16 = 5.8125

2023-08-25 广告
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