Question

如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是

如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF，BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA= ，求⊙O的半径．

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Answer 1

解：（1）证明：连接OB∵OB=OA，CE=CB， ∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC 又∵CD⊥OA ∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90 ° ∴∠OBA+∠ABC=90 ° ∴OB⊥BC ∴BC是⊙O的切线． （2）连接OF，AF，BF， ∵DA=DO，CD⊥OA， ∴△OAF是等边三角形， ∴∠AOF=60 ° ∴∠ABF= ∠AOF=30 ° （3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB， ∴EG= BE=5 又Rt△ADE∽Rt△CGE ∴sin∠ECG=sin∠A= ， ∴CE= =13 ∴CG= =12， 又CD=15，CE=13， ∴DE=2， 由Rt△ADE∽Rt△CGE得 = ∴AD= CG= ∴⊙O的半径为2AD= ．