Question

如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同

如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S △ AEF = S 四边形ABOF ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

（1）△EOF∽△ABO．理由见解析 （2）理由见解析 （3）存在，当t= 或t= 时，S △AEF = S 四边形ABOF ．

试题分析：（1）由 = 及∠MON=∠ABE=90°，可得出△EOF∽△ABO． （2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA． （3）由已知S △AEF = S 四边形ABOF ．得出S △FOE +S △ABE = S 梯形ABOF ，从而可求出t的值． 试题解析：（1）∵t=1， ∴OE=1.5厘米，OF=2厘米， ∵AB=3厘米，OB=4厘米， ∴ ， ∵∠MON=∠ABE=90°， ∴△EOF∽△ABO． （2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t． ∵AB=3，OB=4． ∴ ． 又∵∠EOF=∠ABO=90°， ∴Rt△EOF∽Rt△ABO． ∴∠AOB=∠EOF． ∵∠AOB+∠FOC=90°， ∴∠EOF+∠FOC=90°， ∴EF⊥OA． （3）如图，连接AF， ∵OE=1.5t，OF=2t， ∴BE=4﹣1.5t ∴S △FOE = OE?OF= ×1.5t×2t= t 2 ，S △ABE = ×（4﹣1.5t）×3=6﹣ t， S 梯形ABOF = （2t+3）×4=4t+6 ∵S △AEF = S 四边形ABOF ∴S △FOE +S △ABE = S 梯形ABOF ， ∴ t 2 +6﹣ t= （4t+6），即6t 2 ﹣17t+12=0， 解得t= 或t= ． ∴当t= 或t= 时，S △AEF = S 四边形ABOF ．