Question

（2013?石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD，AD=

（2013?石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=3，BC=4．（I）求证：BD⊥PC；（II）设AC与BD相交于点O，在棱PC上是否存在点E，使得OE∥平面PAB？若存在，确定点E位置．

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）在Rt△ABD中，∵AD=1，AB=

3

BD2＝AB2+AD2＝(

3

)2+12=4，∴BD=2．
∴∠ABD=30°，
∴∠DBC=60°．
在△BCD中，由余弦定理得DC²=2²+4²-2×2×4cos60°=12，
∴DB²+DC²=BC²，
∴∠BDC=90°．∴BD⊥DC．
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD．
又PD∩DC=D，∴BD⊥平面PDC．
∴BD⊥PC．
（II）存在点E，使得OE∥平面PAB，此时PE＝

1

5

PC．证明如下：
在PC上取点E使得PE＝

1

5

PC，连接OE．
由AD∥BC，

AD

BC

＝

AO

OC

＝

1

4

，
∴

PE

EC

＝

AO

OC

＝

1

4

，可得OE∥PA．
又∵PA?平面PAB，OE?平面PAB，
∴OE∥平面PAB．