Question

（2004?湖州）已知如图，A是⊙O的直径CB延长线上一点，BC=2AB，割线AF交⊙O于E、F，D是OB的中点，且DE⊥A

（2004?湖州）已知如图，A是⊙O的直径CB延长线上一点，BC=2AB，割线AF交⊙O于E、F，D是OB的中点，且DE⊥AF，连接BE、DF．（1）试判断BE与DF是否平行？请说明理由；（2）求AE：EC的值．

Answer 1

解答：解：（1）BE与DF不平行（1分）
理由：过O作OM⊥EF，垂足为M，则EM=MF
∵DE⊥AE，∴DE∥OM
∴AE：AM=AD：AO=3：4                         （1分）
∴AE：AF=3：5
∵AB：AD=2：3
∴AE：AF≠AB：AD
∴BE与DF不平行；

（2）取AE的中点P，连接DP交BE于Q
∵D是AC的中点，P是AE的中点
∴DP∥CE
∵BE⊥EC，∴BE⊥DQ
由DQ∥CE，得

DQ

CE

＝

BD

BC

＝

1

4

，又

DP

CE

＝

1

2

∴DP=2DQ即DQ=PQ，又BE⊥DP
∴BE是DP的中垂线
∴EP=ED                                       （2分）
∵∠AED=90°，
∴△EDP是等腰直角三角形
∴DP=

2

EP
∴AE：EC=2EP：2DP=1：

2

．（1分）