Question

一道数学题，求讲解！

四面体ABCD中,若点A在平面BCD上的射影是三角形BCD的垂心，则点B在平面ACD上的摄影也是三角形ACD的垂心

Answer 1

点A在平面BCD上的射影是H，则BH⊥CD，AH⊥CD，则CD⊥平面ABH，从而CD⊥AB。同样有AC⊥BD，AD⊥BC。设点B在平面ACD上的射影为G，则BG⊥CD，AB⊥CD，所以，CD⊥平面ABG，即AG⊥CD，同理有CG⊥AD，DG⊥AC，所以G为三角形ACD的垂心。

Answer 2

朋友，这是显而易见的呀！明天告诉你吧！今天太晚了。

Answer 3

证明：E是点A在平面BCD上的射影，那么BE⊥CD，AH⊥CD
那么CD⊥平面ABE，从而CD⊥AB。
同样AC⊥BD，AD⊥BC。
设点B在平面ACD上的射影为F，则BF⊥CD，AB⊥CD，
所以，CD⊥平面ABF，即AF⊥CD，同理有CF⊥AD，DF⊥AC，所以F为三角形ACD的垂心。