Question

已知：如图，平行四边形ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速远东，速度为3cm/s

点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间是t（s）（0<t<1)，
(1)当t为何值时，四边形AQDM为平行四边形；
（2）设四边形ANPM的面积为y（cm^2)，求y与t之间的函数解析式；
（3）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点吧线段AC分成根号2：1的两部分？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由。
感谢大家帮忙解题，但题中不是2:1，而是 ：
根号二比一

Answer 1

（1）∵AB∥CD，∴AM∥QD，当t=0.5s时，
AP=1.5 cm=AD/2=DP，（CD=0.5cm=CD/2，）
在△PAM与△PDQ中，∠APM=∠DPQ（对顶角），AP=DP，∠PAM=∠PDQ（平行则内错角相等），
∴△PAM≌△PDQ，
∴AM=QD，又∵AM∥QD，
∴当t=0.5s时，四边形AQDM为平行四边形。
（2）设四边形ANPM的面积y（cm²），求y与t的函数关系式，
平行四边形ABCD的高h=EN=（1/2）√2（cm），
在△APM中，AP上的高h1=ME= [（1/2）√2] AM，
AM=ME/[（1/2）√2]= ME√2， AM=ME√3。
在△ACD中，CQ/AP=QD/PD=CD/AD=1/3，
∴PQ∥AC，∴ACQM为平行四边形，AM=CQ，
DQ=1－CQ=1－AM，
∵△APM∽△DPQ，∴AM/DQ=AP/DP，AP=t，
AM/（1－AM）=AP/（3－AP）=t/（3－t），
∴AM（3－t）=t（1－AM），
∴3AM=t，∴t =3AM=3ME√3，ME= t/（3√3）
四边形ANPM的面积=y=S△ANP+S△APM= [（1/2）√2] t/2+[ t/（3√3）] t/2
= [（1/4）√2] t+[（3/2）√3] t²
（3）平行四边形ABCD的面积=3×[（1/2）√2]= （3/2）√2
∴四边形ANPM的面积/2=y/2
= {[（1/4）√2] t+[（3/2）√3] t²}/2=[（3/2）√2]/2，
∴[3√3] t²+（√2）t－3√2=0，
∴t1=－（1/9）√6+0.9138=－0.2722+0.9138=0.6416，
t2=－（1/9）√6－0.9036不符合要求，舍去）
∴当t=0.6416s时，四边形ANPM的面积等于平行四边形ABCD面积的一半。
（4）设NP与AC的交点为F，当t为何值时，有AF：CF=2：1（或CF：AF =2：1）？
如果AF：CF=2：1（或CF：AF =2：1）成立，则
∵ΔAFP∽ΔCNF，AF/CF=AP/CN=2/1，
设AP=2（cm），CN=1（cm），t=2/3（s），那么
BN=BC－CN=3－1=2（cm），MN=2（cm），BM=√（2²+2²）=2√2，
AM=BM－AB=2√2－1=1.828，则t=1.828，但t≤1，t=2/3（s），矛盾；
设AP=1（cm），CN=2（cm），t=1/3（s），那么
BN=BC－CN=3－2=1（cm），MN=1（cm），BM=√（1²+1²）=√2，
AM=BM－AB=√2－1=0.414，则t=0.414，但t=1/3（s），矛盾。
∴不存在时间t，使得AF：CF=2：1（或CF：AF =2：1）。

Answer 2

1
四边形AQDM为平行四边形，
那么AM//=DQ
根据ΔAPM∽ΔDPQ
所以AP/PD=AM/DQ=1
所以AP=PD=1.5
所以，运动了0.5s

2
DQ=1-t
AP=3t,
PD=3-3t
所以AM/DQ=AP/PD
解得AM=t
所以BM=1+t
所以MN=(1+t)/√2
所以S四边形ANPM=(1/2)AP*MN=3√2t(1+t)/4 , 0<=t<=1
即y=3√2t(1+t)/4 , 0<=t<=1

3

存在这个点。

设NP与AC交于K点。
因为BN=(1+t)/√2
CN=3-BN=3-(1+t)/√2
根据ΔAKP∽ΔNKC
所以AK/KC=AP/NC=√2
带入各个量后解得t=(3√2-1)/4<1，符合题意。

所以，运动t=(3√2-1)/4 s时，满足交点K分AC为2:1

Answer 3

(1) AQDM如果是平行四边形，QD=AMQD∥AM P为AD中点， AP=1.5
　　∵P从点A出发，沿AD方向匀速向东，速度为3cm/s，∴t=0.5
(2) AM=CQ=t, AP=3t MN=√2/2*(t+1)
　　y=3t*√2/2*(t+1)/2=3√2/4*t(t+1)
(3) 3t/[3-√2/2*(t+1)]=1/√2 或 3t/[3-√2/2*(t+1)]=√2
　　3√2t=3-√2/2*(t+1) 或 3t=√2[3-√2/2*(t+1)]
　　(3√2+√2/2)t=3-√2/2 或 4t=3√2-1
　　t=(6-√2)/(7√2)=(3√2-1)/7 或 t=(3√2-1)/4

Answer 4

（1）
如果要使四边形AQDM为平行四边形，则AD,QM必定是其的对角线，P必定是其交点，根据平行四边形对角线性质，即相互平分，则P必为AD和QM的中点
因为AD＝3，则AP=1.5,而P的速度为3cm/s，
所以t=0.5时满足要求。
（2）
我们先想象一下，当P、Q移动时，四边形ANPM的变化情况，它由P、Q在初始点面积为零开始，变成同以AP为底的上下两个三角形组成，共底的AP长度以及总高MN随着t的增长而变长。
那我们只要找到AP、MN分别与t的关系即可了。设MN与AD交于点O.
AP=3t，
MN＝BM/√2(因为角ABC＝45,等腰直角三角形斜边是直角边的根号2倍)
BM=AB+AM
AB=1
AM=CQ=t （这里需要证明一下，ACQM始终是平行四边形）
证明：因为BM平行CD，所以必有三角形APM和DPQ相似（对顶，内错）
所以有AP：AM=DP：DQ（对应边成比例）
其中：AP=3t；DP=3-t；DQ=1-t，代入上式后，求得AM=t
而CQ=t，所以AM=CQ，所以ACQM是平行四边形
我们继续
所以MN=(1+t)/√2
四边形ANPM面积S＝三角形AMP面积+三角形ANP面积
S=1/2*AP*OM+1/2*AP*ON
S=1/2AP*(OM+ON)
S=1/2*AP*MN
S=1/2*3t*(1+t)/√2
（3）
存在这一点。设AC和PN交点为H,
因为AD平行BC
所以三角形HAP和三角形HCN相似
所以有HA：HC=AP：NC
即当AP：NC＝√2：1就能满足
我们已知AP=3t
NC=3-BN=3-MN=3-(1+t)/√2
3-(1+t)/√2＝√2：1
解得t=(3√2-1)/4