Question

高中数学联赛题

1.长方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=4,AD=3,则异面直线A1D与B1D1间的距离为多少？ 2.已知：定义在（负无穷，4]上的减函数f（t），得 f（m-sinx）≤f(跟号下（1+2m）-7/4+（cosx）^2对一切实数x均成立，求实数m的范围。 3.设a,b,c属于正实数集，求证：a^3/(2a^2-ab+2b^2)+b^3/(2b^2-bc+2c^2)+c^3/(2c^2-ca+2a^2)≥(a+b+c)/3

Answer 1

第一题应该这样做吧，首先异面直线的公垂线段不易做出时，可以考虑转化成为两直线所在的两个平行平面之间的距离，当然后者需要利用一些体积计算的技巧。具体做法如下： 连接A1B,BD,D1C,B1C很快因为A1B∥D1C,A1D∥B1C可以证明 面A1BD∥面D1B1C下面只要求出这两个平行平面之间的距离就可以了。当然面面之间的距离就是点到面得距离。所以计算B1到面A1BD的距离试试吧。在三棱锥B1-A1BD中以A1BD为底，高就是我们要求的这个距离了。可是A1BD的面积固然可以求，可是三棱锥的体积怎么求呢？技巧就是三棱锥B1-A1BD的体积是四棱锥A1-DBB1D1的一半。这就好办了。 A1D=5,BD=5,A1B=4√2,这是个等腰三角形，面积是2√34,而四棱锥A1-DBB1D1是底面积20，高为12/5（等积法），所以体积是16，所以三棱锥B1-A1BD的体积是8，高就可以求出来了(12/17)√34 这就是最后答案了。

Answer 2

连接A1B,过A作AE⊥A1B,交A1B于E, 由BC⊥平面ABB1A1 则BC⊥AE 又AE⊥A1B 则AE⊥平面A1BCD1 这样,|AE|为点A到平面A1BCD1的距离 在直角△ABA1中 |AB|=3,|AA1|=4, 则|A1B|=5, 由 S=|AB|*|AA1|/2 =|A1B|*|AE|/2 即|AE|=12/5