Question

高中奥数题求解

Answer 1

第 1 项时
a1=1 , b1=0
(a1)² = 1
(b1 + 1)³ - (b1)³ = 1 - 0 = 1
命题成立

第 2 项时
a2 = 7*1 + 12*0 + 6 = 13 , b2 = 4*1 + 7*0 + 3 = 7
(a2)² = 13² = 169
(b2 + 1)³ - (b2)³ = 8³ - 7³ = 512 - 343 = 169
命题成立

假定原命题在第 k 项时成立，即
(ak)² = (bk + 1)³ - (bk)³
= 3(bk)² + 3(bk) + 1
那么第 k+1 项时
[ a(k+1) ]²
= [ 7(ak) + 12(bk) + 6]²
= 49(ak)² + 168(ak)(bk) + 144(bk)² + 84(ak) + 144(bk) + 36 ........①
[ b(k+1) + 1 ]³ - [ b(k+1) ]³
= 3[b(k+1)]² + 3[b(k+1)] + 1
= 3 [ 4(ak) + 7(bk) + 3]² + 3 [ 4(ak) + 7(bk) + 3] + 1
= 48(ak)² + 168(ak)(bk) + 147(bk)² + 84(ak) + 147(bk) + 37 ........②
用①式减②式，得
[ a(k+1) ]² - { [ b(k+1) + 1 ]³ - [ b(k+1) ]³ }
= (ak)² - 3(bk)² - 3(bk) - 1
= 0
即 [ a(k+1) ]² = [ b(k+1) + 1 ]³ - [ b(k+1) ]³
原命题成立

证明完毕

追问

这道题我见过最简单的解法，赞！用归纳法是简单，不过最开始自己猜到立方数就等于bk也是挺考技巧，谢了

Answer 2

是在算不错来，我只是算到An+2 +An = 14An+1

Answer 3

用不完全归纳法证明！

Answer 4

好难，学渣伤不起！

追问

就是求通项 但是不晓得啷个消元

Answer 5

追答

Answer 6