Question

过椭圆 C： x 2 8 + y 2 4 =1上一点P( x 0 ， y 0 )向圆O： x 2 +

过椭圆 C： x 2 8 + y 2 4 =1上一点P( x 0 ， y 0 )向圆O： x 2 + y 2 =4 引两条切线PA、PB、A、B为切点，如直线AB与x轴、y轴交于M、N两点．（1）若 PA ? PB =0 ，求P点坐标；（2）求直线AB的方程（用x 0 ，y 0 表示）；（3）求△MON面积的最小值．（O为原点）

Answer 1

（1）∵ PA ? PB =0 ∴PA⊥PB ∴OAPB的正方形 由 x 20 + y 20 =8 x 20 8 + y 20 4 =1 ? x 20 = 32 4 =8 ∴ x 0 =±2 2 ∴P点坐标为（ ±2 2 ，0 ） （2）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ） 则PA、PB的方程分别为x 1 x+y 1 y=4，x 2 x+y 2 y=4， 而PA、PB交于P（x 0 ，y 0 ） 即x 1 x 0 +y 1 y 0 =4，x 2 x 0 +y 2 y 0 =4， ∴AB的直线方程为：x 0 x+y 0 y=4 （3）由 x 0 x+ y 0 y=4得M( 4 x 0 ，0) 、 N(0， 4 y 0 ) S △MON = 1 2 |OM|?|ON|= 1 2 | 4 x 0 |?| 4 y 0 |=8? 1 | x 0 y 0 | ∵ | x 0 y 0 |=4 2 | x 0 2 2 ? y 0 2 |≤2 2 ( x 20 8 + y 20 4 )=2 2 ∴ S △MON = 8 | x 0 y 0 | ≥ 8 2 2 =2 2 当且仅当 | x 0 2 2 |=| y 0 2 |时， S △MO N min =2 2 ．