Question

已知等差数列{ann}满足a1=1，a3=6，若对任意的n∈N*，数列{bn}满足bn，2an+1，bn+1依次成等比数列，且b1=

已知等差数列{ann}满足a1=1，a3=6，若对任意的n∈N*，数列{bn}满足bn，2an+1，bn+1依次成等比数列，且b1=4．（1）求an，bn（2）设Sn=（-1）b1+（-1）2b2+…+（-1）nbn，n∈N*，证明：对任意的n∈N*，|Sn|＞12bn．

Answer 1

（1）设数列{

an

n

}的公差d，依题意该数列的第一项为

a1

1

=1，第三项为

a3

3

＝2，
∴2=1+（3-1）d，d＝

1

2

．
∴

an

n

＝1+(n?1)×

1

2

，
∴an＝

1

2

n(n+1)，
∵b_n，2a_n+1，b_n+1依次成等比数列，且b₁=4．
∴b_n?b_n+1=4a_n+1²，
∴b_n?b_n+1=（n+2）²（n+1）²，
∴

bn

(n+1)2

?

bn+1

(n+1+1)2

=1，n∈N^*．
令cn＝

bn

(n+1)2

，
则c_nc_n+1=1，∴cn+1＝

1

cn

，且c_n≠0．
∵c1＝

b1

4

=

4

4

＝1，
∴cn＝

1

cn?1

＝cn?2＝

1

cn?3

＝…＝c2＝

1

c1

＝1，
∴cn＝

bn

(n+1)2

＝1，
∴b_n=（n+1）²．
（2）当n是偶数时，
S_n=（-1）?b₁+（-1）²?b₂+…+（-1）ⁿb_n
=-2²+3²-4²+5²-6²+7²-…-n²+（n+1）²
=5+9+13+…+（2n+1）
=

n2+3n

2

．
∴