Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点M的坐标是（1，3），且与y轴相交于点C（0，2），P（1，1）是抛物线对称轴上

如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点M的坐标是（1，3），且与y轴相交于点C（0，2），P（1，1）是抛物线对称轴上的一点．请回答下列问题：（1）写出抛物线的解析式______；（2）点Q是抛物线上的一点，且使△CPQ的面积等于△CMP的面积，则所有满足条件的点Q的个数为：______．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+3，
把C（0，2）代入得，a+3=2，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+3=-x²+2x+2．
故答案为y=-x²+2x+2．

（2）∵△CPQ的面积等于△CMP的面积，
∴点Q到CP的距离等于点M到CP的距离，即点Q在与PC平行且到CP的距离等于点M到CP的距离的两条平行直线上，如图，
设直线PC的解析式为y=kx+b，
把C（0，2），P（1，1）代入得，k+2=1，b=2，解得k=-1，
∴直线PC的解析式为y=-x+2，
又∵MQ₁∥PC，
∴设直线MQ₁的解析式为y=-x+b，
把M（1，3）代入得b=4，
∴直线MQ₁的解析式为y=-x+4，
联立

y＝?x2+2x+2 y＝?x+4

，解得

x1＝1 y 1＝3

，

x2＝2 y2＝2

，
∴Q₁的坐标为（2，2）；
直线MQ₁y=-x+4与y轴的交点N的坐标为（0，4），所以把直线MQ₁向下平移4个单位后与PC的距离不变，此时平移后的直线的解析式为y=-x，设它与抛物线的交
点为Q₂，Q₃，如图，
联立

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