Question

已知{an}为公差不为零的等差数列，首项a1=a，{an}的部分项ak1、ak2、…、akn恰为等比数列，且k1=1，k2=2

已知{an}为公差不为零的等差数列，首项a1=a，{an}的部分项ak1、ak2、…、akn恰为等比数列，且k1=1，k2=2，k3=5．（1）求数列{an}的通项公式an（用a表示）；（2）若数列{kn}的前n项和为Sn，求Sn．

Answer 1

（1）设{a_n}的公差为d（d≠0），
由已知得a₁=a，a₂=a+d，a₅=a+4d成等比数列，
∴（a+d）²=a（a+4d），解得a=0或d=2a，
若a=0，则{a_n}为0，d，2d，3d，4d，…，这与a₁，a₂，a₅成等比数列矛盾，
∴d=2a，
∴a_n=a₁+（n-1）d=（2n-1）a．
（2）由（1）可知a_n=（2n-1）a，
∴akn＝(2kn?1)a1，
而等比数列{akn}的公比q＝

a2

a1

＝

a1+d

a1

＝3．
∴akn＝a1?3n?1，
因此akn＝(2kn?1)a1=a1?3n?1，
∴kn＝

3n?1+1

2

，kn＝

3n?1+1

2

=

1

2

?3n?1+

1

2

，
∴Sn＝(

1

2

×30+

1

2

×31+…+

1

2

×3n?1)+

1

2

×n=

1

2

?

1(1?3n)

1?3

+

n

2

=

3n+2n?1

4

．