Question

某电视台娱乐节目，为了使节目的趣味性、知识性融于一体，采取了答题过关的形式，每位选手最多有5次答题

某电视台娱乐节目，为了使节目的趣味性、知识性融于一体，采取了答题过关的形式，每位选手最多有5次答题的机会，选手累计答对3题进入过下一关的机会，答错3题则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23．（Ⅰ）求选手甲恰好第一次、第三次、第五次答对题的概率；（Ⅱ）求选手甲可进入下一关的概率；（Ⅲ）设选手甲在答题过关时答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

（Ⅰ）选手甲恰好第一次、第三次、第五次答对题的概率为(

2

3

)3?(

1

3

)2=

8

243

 …2分
（Ⅱ）选手甲答3道题可进入下一关的概率为(

2

3

)3=

8

27

；  …3分
选手甲答4道题可进入决赛的概率为

C

2 3

(

2

3

)2?

1

3

?

2

3

=

8

27

；…5分
选手甲答5道题可进入决赛的概率为

C

2 4

(

2

3

)2?(

1

3

)2?

2

3

=

16

81

； …7分
∴选手甲可进入决赛的概率P=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

．        …9分
（Ⅲ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．则有
P（ξ=3）=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

，
P（ξ=5）=

C

2 4

(

2

3

)2?(

1

3

)2?

2

3

+

C

2 4

(

2

3

)2?(

1

3

)2?

1

3

=

8

27

，
P（ξ=4）=1-P（ξ=3）-P（ξ=5）=1-